Великой теоремой Ферма называется то весьма любопытное заключение, которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком «Арифметики» Диафанта. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении  уравнения вида , Пьер Ферма  написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвертую степень – на сумму четвертых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение не может быть решено в рациональных числах относительно при целых значениях показателя п, больших 2».   Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев, однако до сих пор она не доказана в общем виде, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие математики.

 

Преобразование уравнений  вида       и      .

Доказательство Великой теоремы Ферма

Уравнение  несложно получить из уравнения .

Умножим правую и левую части уравнения   на число равное произведению чисел  и получим равносильное уравнение  или        .

Допустим теперь, что  уравнение  имеет целочисленное решение при любых целых значениях показателя п, при всех .   В этом случае уравнение     будет  иметь решение в целых числах уже не при всех , а  только  при . (Вспомним:      и   только при  верно то, что ).

Однако  уравнение  имеет бесчисленное множество решений в целых числах не только при , но и при любом целом. (Это совсем нетрудно проверить) *.  -  Из этого следует, что наше предположение относительно решений уравнения     при любом целом показателе  является  ошибочным  и  верно обратное:  уравнение  имеет бесчисленное множество решений в целых числах при показателе ,  а уравнение  имеет целочисленное решение только при показателе .

Александр Маслов

Почтовый адрес: 303240 Россия,

Орловская область,

г. Дмитровск, П/о Соломино

тел.: +7(960)6505951

E-Mail: A_Maslovu@inbox.ru